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  - copilot-conversation
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**user**: [[CASEstab_theory_manual]]详细展示1.15的推导过程
[Timestamp: 2025/08/06 09:08:48]

**ai**: 好的，我们来详细展示一下 [[CASEstab_theory_manual]] 中公式 1.15 的推导过程。

这个推导是基于一个特定的简化假设：在整个结构中，只有一个子结构（编号为 $k$）的轴承具有显式的时间依赖性，即以恒定角速度 $\Omega$ 旋转。所有其他轴承要么是固定的，要么其转角是自由度（DOF），因此它们不具有显式的时间依赖性。

### 前提条件

1.  **单一旋转轴承**: 只有子结构 $k$ 的轴承矩阵 $\mathbf{B}_k$ 是时间的显式函数。对于任何其他子结构 $m \neq k$，其轴承矩阵 $\mathbf{B}_m$ 是常数，因此其时间导数为零：
    $$ \dot{\mathbf{B}}_m = \mathbf{0}, \quad \ddot{\mathbf{B}}_m = \mathbf{0} \quad \text{for } m \neq k $$
2.  **恒定角速度**: 子结构 $k$ 的轴承以恒定角速度 $\Omega$ 绕由单位向量定义的轴旋转。根据附录 E.2 中的公式 (E.5) 和 (E.6)，旋转矩阵 $\mathbf{B}_k$ 的一阶和二阶时间导数可以表示为：
    $$ \dot{\mathbf{B}}_k = \Omega \mathbf{B}_k \mathbf{N}_k $$
    $$ \ddot{\mathbf{B}}_k = \Omega^2 \mathbf{B}_k \mathbf{N}_k^2 $$
    其中 $\mathbf{N}_k$ 是由轴承旋转轴的单位向量定义的斜对称矩阵。

### 推导过程

我们将从公式 (1.14) 中的通用时间导数表达式出发，应用上述前提条件来推导公式 (1.15)。

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#### **推导 (1.15b): $\dot{\mathbf{R}}_{0,b}$**

我们从 $\mathbf{R}_{0,b}$ 的通用时间导数表达式 (1.14b) 开始。为了清晰起见，我们将求和索引改为 $m$：
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) S_m \dot{\mathbf{B}}_m \mathbf{R}_m \mathbf{S}_m^T \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) S_b \mathbf{B}_b + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) S_b \dot{\mathbf{B}}_b
$$
根据前提条件，只有当 $m=k$ 或 $b=k$ 时，$\dot{\mathbf{B}}$ 项才不为零。

*   **情况 1: $b < k$**
    在这种情况下，求和中的所有 $m$ 和索引 $b$ 都小于 $k$。因此，所有的 $\dot{\mathbf{B}}_m$ 和 $\dot{\mathbf{B}}_b$ 都为零。所以：
    $$ \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \mathbf{0} \quad \text{for } b < k $$

*   **情况 2: $b \ge k$**
    在这种情况下，求和中只有当 $m=k$ 时项才不为零。第二个加项中的 $\dot{\mathbf{B}}_b$ 仅在 $b=k$ 时不为零。
    *   如果 $b=k$，表达式简化为 $\dot{\mathbf{R}}_{0,k} = (\prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l) S_k \dot{\mathbf{B}}_k$。
    *   如果 $b>k$，表达式简化为 $\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = (\prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l) S_k \dot{\mathbf{B}}_k \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T (\prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l) S_b \mathbf{B}_b$。
    这两个子情况可以合并。将 $\dot{\mathbf{B}}_k = \Omega \mathbf{B}_k \mathbf{N}_k$ 代入，得到 (1.15b) 的第一部分：
    $$
    \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l \right) S_k \mathbf{B}_k \mathbf{N}_k \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) S_b \mathbf{B}_b
    $$
    现在我们来证明其等价于第二部分 $\Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}$。
    利用 (1.13) 中的定义：
    $\mathbf{R}_{0,k} = (\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l})\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}$
    $\mathbf{R}_{0,b} = (\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l})\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} = \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \mathbf{S}_k \mathbf{B}_k (\prod_{l=k+1}^{b-1}\mathbf{O}_{l})\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}$
    让我们从目标表达式的第二部分开始：
    $$
    \begin{aligned}
    \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} &= \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \left( \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \right) \\
    &= \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k (\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,k}) \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \\
    &= \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \\
    &= \Omega \left( \left( \prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_k \mathbf{B}_k \right) \mathbf{N}_k \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^T \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b
    \end{aligned}
    $$
    这与我们从 (1.14b) 推导出的结果完全一致。

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#### **推导 (1.15a): $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$**

我们从通用表达式 (1.14a) 开始：
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{m=0}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,m} \mathbf{r}_m
$$
从上面的推导我们知道，当 $m < k$ 时，$\dot{\mathbf{R}}_{0,m} = \mathbf{0}$。因此，求和的起始索引可以从 0 变为 $k$。
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{m=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,m} \mathbf{r}_m
$$
将求和索引 $m$ 替换为 $l$，即得到 (1.15a)。

---

#### **推导 (1.15d): $\ddot{\mathbf{R}}_{0,b}$**

我们对 (1.15b) 的第二种形式进行时间求导：
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
$$
由于 $\Omega$ 和 $\mathbf{N}_k$ 是常数，我们使用乘法法则求导：
$$
\ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \dot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \dot{\mathbf{R}}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} \right)
$$
代入我们已知的导数：
*   $\dot{\mathbf{R}}_{0,k} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k$
*   $\dot{\mathbf{R}}_{0,k}^T = (\Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k)^T = \Omega \mathbf{N}_k^T \mathbf{R}_{0,k}^T = -\Omega \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T$
*   $\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}$

代入后得到：
$$
\begin{aligned}
\ddot{\mathbf{R}}_{0,b} &= \Omega \left( (\Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k) \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k (-\Omega \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T) \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}) \right) \\
&= \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} - \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k (\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,k}) \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right) \\
&= \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} - \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right) \\
&= \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
\end{aligned}
$$
这与 (1.15d) 的第二部分相符。第一部分可以通过对 (1.15b) 的第一部分求导得到，注意到其中只有 $\mathbf{B}_k$ 是时间相关的，并代入 $\dot{\mathbf{B}}_k = \Omega \mathbf{B}_k \mathbf{N}_k$ 即可。

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#### **推导 (1.15c): $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$**

我们对 (1.15a) 进行时间求导：
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l
$$
由于 $\mathbf{r}_l$ 是局部位置矢量，不随时间变化，所以：
$$
\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \frac{d}{dt} \left( \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l \right) = \sum_{l=k}^{b-1} \ddot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l
$$
这与 (1.15c) 完全一致。

至此，公式组 (1.15) 的所有部分都已从其通用形式 (1.14) 在单一恒速旋转轴承的假设下推导出来。
[Timestamp: 2025/08/06 09:10:17]

**user**: [[CASEstab_theory_manual]]补充完整1.16
[Timestamp: 2025/08/06 09:18:36]

**ai**: 好的，我们来补充和推导 [[CASEstab_theory_manual]] 中公式组 1.16 的缺失部分。

该公式组是在“只有一个轴承（位于子结构 $k$）以恒定角速度 $\Omega$ 旋转”的假设下推导的。我们将使用公式组 (1.15) 的结果来完成推导。

### 补充推导 (1.16a) 和 (1.16d)

**1. 推导 (1.16a): $\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b}$**

我们从 $\mathbf{r}_{0,b}$ 和 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 的定义出发：
*   根据 (1.13): $\mathbf{r}_{0,b} = \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{R}_{0,m}\mathbf{r}_{m}$
*   根据 (1.15a): $\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l$

将它们相乘：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \left( \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{r}_{m}^T\mathbf{R}_{0,m}^T \right) \left( \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
$$
现在，代入 (1.15b) 中 $\dot{\mathbf{R}}_{0,l}$ 的表达式 $\dot{\mathbf{R}}_{0,l} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}$：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \left( \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{r}_{m}^T\mathbf{R}_{0,m}^T \right) \left( \sum_{l=k}^{b-1} (\Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}) \mathbf{r}_l \right)
$$
我们可以将与求和索引 $l$ 无关的项提取出来：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \left( \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{r}_{m}^T\mathbf{R}_{0,m}^T \right) \left( \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \right) \left( \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
$$
我们识别出其中的求和项：
*   第一个求和项就是 $\mathbf{r}_{0,b}^T$。
*   第二个求和项可以从 $\mathbf{r}_{0,b}$ 的定义中得到：
    $\mathbf{r}_{0,b} = \sum_{l=0}^{b-1}\mathbf{R}_{0,l}\mathbf{r}_{l} = \sum_{l=0}^{k-1}\mathbf{R}_{0,l}\mathbf{r}_{l} + \sum_{l=k}^{b-1}\mathbf{R}_{0,l}\mathbf{r}_{l} = \mathbf{r}_{0,k} + \sum_{l=k}^{b-1}\mathbf{R}_{0,l}\mathbf{r}_{l}$
    因此，$\sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}$。

将这些代回表达式，得到最终结果：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \, \mathbf{r}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
$$

---

**2. 推导 (1.16d): $\mathbf{r}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$**

这个推导过程与 (1.16a) 非常相似，只是用二阶导数代替一阶导数。
我们从 $\mathbf{r}_{0,b}$ 和 $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 的定义出发：
*   根据 (1.13): $\mathbf{r}_{0,b} = \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{R}_{0,m}\mathbf{r}_{m}$
*   根据 (1.15c): $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{l=k}^{b-1} \ddot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l$

将它们相乘，并代入 (1.15d) 中 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,l}$ 的表达式 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,l} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}$：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \left( \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{r}_{m}^T\mathbf{R}_{0,m}^T \right) \left( \sum_{l=k}^{b-1} (\Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}) \mathbf{r}_l \right)
$$
同样，提取公共项并识别求和部分：
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \sum_{m=0}^{b-1}\mathbf{r}_{m}^T\mathbf{R}_{0,m}^T \right) \left( \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \right) \left( \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
$$
$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \, \mathbf{r}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
$$

### 完整的公式组 (1.16)

将推导出的结果填入，得到完整的公式组 (1.16) 如下：

$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \, \mathbf{r}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}) \tag{1.16a}
$$

$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}) \tag{1.16b}
$$

$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \tag{1.16c}
$$

$$
\mathbf{r}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \, \mathbf{r}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}) \tag{1.16d}
$$

$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}) \tag{1.16e}
$$

$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \tag{1.16f}
$$
[Timestamp: 2025/08/06 09:19:31]

**user**: [[CASEstab_theory_manual]]详细展示1.16b, 1.16c, 1.16e, 1.16f的推导过程
[Timestamp: 2025/08/06 09:22:52]

**ai**: 好的，我们来详细展示 [[CASEstab_theory_manual]] 中公式组 1.16b, 1.16c, 1.16e, 和 1.16f 的推导过程。

这些推导都基于一个核心前提：**结构中只有一个子结构（编号为 $k$）的轴承以恒定的角速度 $\Omega$ 旋转**。我们将频繁使用公式组 (1.15) 的结果。

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### 推导 (1.16b): $\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b}$

我们要推导的表达式是：
$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
$$

**推导步骤:**

1.  **代入 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$**:
    我们从公式 (1.15a) 开始，即 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l$。将其代入目标表达式：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \left( \sum_{l=k}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
    $$

2.  **代入 $\dot{\mathbf{R}}_{0,l}$**:
    接下来，使用公式 (1.15b) 的第二种形式，并将其应用于索引 $l$：$\dot{\mathbf{R}}_{0,l} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}$。代入上式：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \sum_{l=k}^{b-1} \left( \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l} \right) \mathbf{r}_l
    $$

3.  **提取公共项**:
    由于 $\Omega$, $\mathbf{R}_{0,k}$, $\mathbf{N}_k$, 和 $\mathbf{R}_{0,k}^T$ 不依赖于求和索引 $l$，我们可以将它们从求和号中提取出来：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \left( \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
    $$
    这与公式 (1.16b) 的**第一部分**完全匹配。

4.  **简化求和项**:
    为了得到公式的第二部分，我们需要简化求和项 $\sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l$。我们利用公式 (1.13) 中 $\mathbf{r}_{0,b}$ 的定义：
    $$
    \mathbf{r}_{0,b} = \sum_{l=0}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \sum_{l=0}^{k-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l + \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l
    $$
    其中，第一项 $\sum_{l=0}^{k-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l$ 正是 $\mathbf{r}_{0,k}$ 的定义。因此：
    $$
    \mathbf{r}_{0,b} = \mathbf{r}_{0,k} + \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l
    $$
    移项可得：
    $$
    \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}
    $$

5.  **代回并整理**:
    将这个简化的求和项代回到第3步的结果中：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
    $$
    利用矩阵转置的性质 $(AB)^T = B^T A^T$，我们有 $(\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b})^T = \mathbf{R}_{0,b}^T (\mathbf{R}_{0,k}^T)^T = \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k}$。将此关系代入上式，即可得到公式 (1.16b) 的**第二部分**：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
    $$

---

### 推导 (1.16c): $\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b}$

我们要推导的表达式是：
$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
$$

**推导步骤:**

1.  **直接代入 $\dot{\mathbf{R}}_{0,b}$**:
    我们使用公式 (1.15b) 的第二种形式：$\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}$。将其直接代入目标表达式：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \left( \Omega \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)
    $$

2.  **重新组合**:
    将常数 $\Omega$ 提取出来，并重新组合括号：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \right) \mathbf{N}_k \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)
    $$

3.  **使用转置关系**:
    再次利用转置关系 $\mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} = (\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b})^T$。代入上式即可得到最终结果：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
    $$
    *注意：这里的最后一个 $\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}$ 也可以写成括号形式，但为了与手册保持一致，我们写成手册中的形式。*

---

### 推导 (1.16e): $\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$

此推导与 (1.16b) 的过程完全平行，只是将一阶时间导数换为二阶。
我们要推导的表达式是：
$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
$$

**推导步骤:**

1.  **代入 $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$**:
    从公式 (1.15c) 开始：$\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{l=k}^{b-1} \ddot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l$。
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \left( \sum_{l=k}^{b-1} \ddot{\mathbf{R}}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
    $$

2.  **代入 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,l}$**:
    使用公式 (1.15d) 的第二种形式，并应用于索引 $l$：$\ddot{\mathbf{R}}_{0,l} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l}$。
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \sum_{l=k}^{b-1} \left( \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,l} \right) \mathbf{r}_l
    $$

3.  **提取公共项**:
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \left( \sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l \right)
    $$
    这与公式 (1.16e) 的**第一部分**匹配。

4.  **简化求和项并代回**:
    使用与 (1.16b) 推导中完全相同的简化：$\sum_{l=k}^{b-1} \mathbf{R}_{0,l} \mathbf{r}_l = \mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k}$。代入并使用转置关系 $\mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} = (\mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b})^T$，得到**第二部分**：
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T (\mathbf{r}_{0,b} - \mathbf{r}_{0,k})
    $$

---

### 推导 (1.16f): $\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b}$

此推导与 (1.16c) 的过程完全平行。
我们要推导的表达式是：
$$
\mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
$$

**推导步骤:**

1.  **直接代入 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,b}$**:
    使用公式 (1.15d) 的第二种形式：$\ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}$。
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \mathbf{R}_{0,b}^T \left( \Omega^2 \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)
    $$

2.  **重新组合并使用转置关系**:
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,b}^T \mathbf{R}_{0,k} \right) \mathbf{N}_k^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)
    $$
    $$
    \mathbf{R}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \Omega^2 \left( \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b} \right)^T \mathbf{N}_k^2 \mathbf{R}_{0,k}^T \mathbf{R}_{0,b}
    $$
    推导完成。
[Timestamp: 2025/08/06 09:24:20]

**user**: [[CASEstab_theory_manual]][C详细推导补充1.18
[Timestamp: 2025/08/08 09:45:29]

**ai**: 好的，我们来详细推导并补充完整 [[CASEstab_theory_manual]] 中关于自由度（DOF）导数的公式组 (1.18)。

这些导数是计算质量矩阵、陀螺矩阵和离心力所必需的，它们描述了子结构基座的位置向量 $\mathbf{r}_{0,b}$ 和姿态矩阵 $\mathbf{R}_{0,b}$ 如何随各个广义坐标（自由度）$q_i$ 的变化而变化。

### 基础定义

我们从公式 (1.13) 给出的定义开始：
$$
\mathbf{r}_{0,b}=\sum_{k=0}^{b-1}\mathbf{R}_{0,k}\mathbf{r}_{k}
$$
$$
\mathbf{R}_{0,b}=\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}
$$
其中 $\mathbf{O}_{l}=\mathbf{S}_{l}\mathbf{B}_{l}\mathbf{R}_{l}\mathbf{S}_{l}^{T}$。

需要注意的是：
*   $\mathbf{S}_l$ 是常数矩阵，其对任何自由度的导数都为零。
*   $\mathbf{r}_k$, $\mathbf{B}_k$, 和 $\mathbf{R}_k$ 仅依赖于其所属子结构 $k$ 的自由度。因此，$\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}$ 仅当 $q_i$ 是子结构 $k$ 的自由度时才不为零。

---

### 推导 (1.18a): $\mathbf{r}_{0,b,q_i}$ (一阶位置导数)

这是对 $\mathbf{r}_{0,b}$ 求关于自由度 $q_i$ 的一阶偏导数。我们对求和式中的每一项应用乘法法则 $(\mathbf{U}\mathbf{v})' = \mathbf{U}'\mathbf{v} + \mathbf{U}\mathbf{v}'$。

$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \sum_{k=0}^{b-1} \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_k \right)
$$
将求导算子移入求和号内：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \sum_{k=0}^{b-1} \frac{\partial}{\partial q_i} (\mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_k)
$$
应用乘法法则：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \frac{\partial \mathbf{R}_{0,k}}{\partial q_i} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i} \right)
$$
使用手册中的简写符号 $()_{,q_i} \equiv \frac{\partial}{\partial q_i}$，我们得到：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \sum_{k=0}^{b-1} (\mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i}) \tag{1.18a}
$$
这与手册中给出的公式一致。

---

### 推导 (1.18b): $\mathbf{R}_{0,b,q_i}$ (一阶姿态导数)

这是对 $\mathbf{R}_{0,b}$ 求关于 $q_i$ 的一阶偏导数。这是一个对矩阵乘积的求导。
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i} = \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \left(\prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l\right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \right) = \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \mathbf{O}_0 \mathbf{O}_1 \cdots \mathbf{O}_{b-1} \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \right)
$$
应用乘法法则的推广形式，我们对乘积中的每一项（$\mathbf{O}_0, \dots, \mathbf{O}_{b-1}, \mathbf{B}_b$）依次求导，其他项保持不变，然后将结果相加。
$$
\begin{aligned}
\mathbf{R}_{0,b,q_i} = & \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \frac{\partial \mathbf{O}_m}{\partial q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \\
& + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \frac{\partial \mathbf{B}_b}{\partial q_i}
\end{aligned}
$$
使用简写符号，得到补充后的公式：
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i} = \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i} \tag{1.18b}
$$

---

### 推导 (1.18c): $\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j}$ (二阶位置导数)

这是对 (1.18a) 的结果再求关于 $q_j$ 的偏导数。
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j} = \frac{\partial}{\partial q_j} \left( \mathbf{r}_{0,b,q_i} \right) = \frac{\partial}{\partial q_j} \left( \sum_{k=0}^{b-1} (\mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i}) \right)
$$
将求导算子移入求和号，并对括号内的两项分别应用乘法法则：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j} = \sum_{k=0}^{b-1} \left[ \frac{\partial}{\partial q_j}(\mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_k) + \frac{\partial}{\partial q_j}(\mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i}) \right]
$$
$$
\frac{\partial}{\partial q_j}(\mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_k) = \frac{\partial \mathbf{R}_{0,k,q_i}}{\partial q_j} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k,q_i} \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j} = \mathbf{R}_{0,k,q_i,q_j} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_{k,q_j}
$$
$$
\frac{\partial}{\partial q_j}(\mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i}) = \frac{\partial \mathbf{R}_{0,k}}{\partial q_j} \mathbf{r}_{k,q_i} + \mathbf{R}_{0,k} \frac{\partial \mathbf{r}_{k,q_i}}{\partial q_j} = \mathbf{R}_{0,k,q_j} \mathbf{r}_{k,q_i} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i,q_j}
$$
将这两部分结果合并，得到补充后的公式：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \mathbf{R}_{0,k,q_i,q_j} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_{k,q_j} + \mathbf{R}_{0,k,q_j} \mathbf{r}_{k,q_i} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i,q_j} \right) \tag{1.18c}
$$

---

### 推导 (1.18d): $\mathbf{R}_{0,b,q_i,q_j}$ (二阶姿态导数)

这是对 (1.18b) 的结果再求关于 $q_j$ 的偏导数。这个推导过程比较繁琐，需要对 (1.18b) 的两个主要加项分别求导。

**第一项的导数**:
$$
\frac{\partial}{\partial q_j} \left[ \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \right]
$$
这本身是一个乘积的导数，其中第一部分是一个求和。应用乘法法则，并对求和部分再次应用乘法法则的推广形式，会得到一个非常复杂的表达式，包含二阶导数项 $\mathbf{O}_{m,q_i,q_j}$ 和两个一阶导数的乘积项 $\mathbf{O}_{p,q_j} \cdots \mathbf{O}_{m,q_i}$。

**第二项的导数**:
$$
\frac{\partial}{\partial q_j} \left[ \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i} \right]
$$
同样应用乘法法则，对连乘项和 $\mathbf{B}_{b,q_i}$ 分别求导。

将所有部分组合起来，得到一个完整的、但非常冗长的表达式。为了清晰起见，我们分块表示：
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i,q_j} = \text{Term1} + \text{Term2} + \text{Term3} + \text{Term4}
$$
其中：
*   **Term1 (二阶导数项)**:
    $$
    \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i,q_j} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i,q_j}
    $$
*   **Term2 (交叉导数项，对 $\mathbf{O}$ 求导)**:
    $$
    \sum_{m=0}^{b-1} \left[ \left( \sum_{p=0}^{m-1} \left( \prod_{l=0}^{p-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{p,q_j} \left( \prod_{l=p+1}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right] \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b
    $$
    $$
    + \sum_{m=0}^{b-1} \left[ \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \sum_{p=m+1}^{b-1} \left( \prod_{l=m+1}^{p-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{p,q_j} \left( \prod_{l=p+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \right] \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b
    $$
*   **Term3 (交叉导数项，对 $\mathbf{O}$ 和 $\mathbf{B}_b$ 求导)**:
    $$
    \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_j}
    $$
    $$
    + \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_j} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i}
    $$
*   **Term4 (对 $\mathbf{B}_b$ 的交叉导数项)**:
    $$
    \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i,q_j}
    $$
    *注意：这个Term4已经包含在Term1中了，为了避免重复，我们将最终公式合并。*

合并后的完整公式为：
$$
\begin{aligned}
\mathbf{R}_{0,b,q_i,q_j} = & \sum_{m=0}^{b-1} \sum_{p=0, p \neq m}^{b-1} \left( \cdots \mathbf{O}_{p,q_j} \cdots \mathbf{O}_{m,q_i} \cdots \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \\
& + \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i,q_j} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b \\
& + \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_j} \\
& + \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_j} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i} \\
& + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i,q_j}
\end{aligned} \tag{1.18d}
$$
其中第一行的 `(...)` 表示根据 $p$ 和 $m$ 的相对位置，将导数项插入到连乘积的正确位置。这是一个非常复杂的表达式，但在数值计算中，它是通过对一阶导数表达式进行有限差分或自动微分来获得的，而不是直接实现这个解析形式。

### 总结

补充完整的公式组 (1.18) 如下：
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \sum_{k=0}^{b-1} (\mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i}) \tag{1.18a}
$$
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i} = \left( \sum_{m=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{m-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{O}_{m,q_i} \left( \prod_{l=m+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b + \left( \prod_{l=0}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_b \mathbf{B}_{b,q_i} \tag{1.18b}
$$
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \mathbf{R}_{0,k,q_i,q_j} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k,q_i} \mathbf{r}_{k,q_j} + \mathbf{R}_{0,k,q_j} \mathbf{r}_{k,q_i} + \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_{k,q_i,q_j} \right) \tag{1.18c}
$$
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i,q_j} = \frac{\partial}{\partial q_j} \left( \mathbf{R}_{0,b,q_i} \right) \quad \text{(其展开式如上文推导所示)} \tag{1.18d}
$$
[Timestamp: 2025/08/08 09:46:57]