vault backup: 2025-08-06 08:18:01

This commit is contained in:
aGYZ 2025-08-06 08:18:02 +08:00
parent f3a2b43bb0
commit 21d401a258

View File

@ -0,0 +1,254 @@
---
epoch: 1754389966391
modelKey: gemini-2.5-pro|google
tags:
- copilot-conversation
---
**user**: [[CASEstab_theory_manual]]解释公式1.12到1.18d
[Timestamp: 2025/08/05 18:32:46]
**ai**: 好的,我们来逐一解释[[CASEstab_theory_manual]]中从公式1.12到1.18d的含义。这些公式是建立风力机结构动力学模型的基础,描述了如何通过铰接的子结构(如塔架、机舱、叶片等)来表示整个系统的几何关系和运动。
### 核心概念:子结构运动的分解
为了理解这些公式,首先要明白其核心思想:将一个复杂结构(如风力机)拆分成多个子结构。任何一个子结构上任意一点的运动,都可以分解为**基座的运动**(平动+转动)和**该点相对于基座的内部变形**。
---
### 公式 1.12: 质点位置的紧凑形式
$$
\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\mathbf{r}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)+\mathbf{R}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right) \tag{1.12}
$$
这个公式是描述子结构运动的核心。它表示了子结构 `b` 上任意一个质点的位置矢量 $\mathbf{r}_{b}$。
* $\mathbf{r}_{b}$: 子结构 `b` 上某个质点在全局惯性坐标系中的位置矢量。
* $\mathbf{r}_{0,b}$: 子结构 `b` 的**基座**在全局坐标系中的平动位移矢量。它描述了支撑子结构 `b` 的所有其他子结构(例如,对于叶片来说,就是塔架和轮毂)的运动所导致的平移。
* $\mathbf{R}_{0,b}$: 子结构 `b` 的**基座**在全局坐标系中的旋转矩阵。它描述了支撑子结构 `b` 的所有其他子结构的运动所导致的旋转。
* $\mathbf{r}_{1,b}$: 该质点在子结构 `b` **自身局部坐标系**中的位置矢量。这个矢量描述了子结构 `b` 的**内部变形**(例如,叶片的弯曲、扭转)。它只与子结构 `b` 自身的自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 有关。
**简而言之公式1.12的物理意义是:**
> 质点的全局位置 = 基座的全局位置 + 经过基座旋转变换后的局部变形位置。
---
### 公式 1.13: 基座运动的递归定义
$$
\mathbf{r}_{0,b}=\sum_{k=0}^{b-1}\mathbf{R}_{0,k}\mathbf{r}_{k}=\mathbf{r}_{0,b-1}+\mathbf{R}_{0,b-1}\mathbf{r}_{b-1} \quad \mathrm{and} \quad \mathbf{R}_{0,b}=\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}=\mathbf{R}_{0,b-1}\mathbf{R}_{b-1}\mathbf{S}_{b-1}^{T}\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} \tag{1.13}
$$
这个公式详细定义了公式1.12中的基座运动项 $\mathbf{r}_{0,b}$ 和 $\mathbf{R}_{0,b}$。它们是通过一个从地面子结构0开始的运动链递归计算的。
* **$\mathbf{r}_{0,b}$ (基座平动):** 子结构 `b` 的基座位置,等于它前一个子结构 `b-1` 的基座位置,再加上从 `b-1` 基座到 `b` 基座的矢量(经过 `b-1` 基座的旋转变换)。这形成了一个从地面开始的矢量链。
* **$\mathbf{R}_{0,b}$ (基座转动):** 子结构 `b` 的基座的累积旋转矩阵。它是从地面子结构0到子结构 `b-1` 所有旋转矩阵的连乘积。其中 $\mathbf{O}_{l}$ 代表了第 `l` 个子结构的总旋转,包括了其自身的变形、轴承转动等。
---
### 公式 1.14a 到 1.14d: 基座运动的时间导数(通用形式)
这些公式是基座位置和旋转矩阵对时间的一阶和二阶导数,即速度和加速度。它们在推导拉格朗日方程中的惯性力(如科里奥利力、离心力)时至关重要。
文档中提到,这些导数是基于一个关键假设:**唯一的显式时间依赖项是轴承矩阵 $\mathbf{B}_{k}$**,这通常代表风轮的预设转速。
* **$\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$ (公式 1.14a 的实际含义) 和 $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$ (1.14c):** 分别是基座的平动速度和加速度。它们是通过对公式1.13中的求和项进行微分得到的。
* **$\dot{\mathbf{R}}_{0,b}$ (1.14b) 和 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,b}$ (1.14d):** 分别是基座的角速度和角加速度相关的矩阵。它们是通过对公式1.13中的旋转矩阵连乘积进行微分得到的,形式非常复杂,因为应用了多次乘法和链式法则。
---
### 公式 1.15a 到 1.15d: 基座运动的时间导数(简化形式)
这些是公式1.14的简化版,适用于一个更常见且具体的情况:**整个系统中只有一个带预设恒定转速 $\Omega$ 的轴承**(例如风轮机的主轴)。
* **$\Omega$**: 预设的恒定角速度。
* **$\mathbf{N}_{k}$**: 一个斜对称矩阵,代表了该旋转轴承的旋转轴方向。
* **公式 1.15b 和 1.15d**: 将复杂的 $\dot{\mathbf{B}}_k$ 和 $\ddot{\mathbf{B}}_k$ 替换为更简洁的 $\Omega \mathbf{N}_k$ 和 $\Omega^2 \mathbf{N}_k^2$ 形式,大大简化了角速度和角加速度矩阵的计算。
* **公式 1.15a 和 1.15c**: 由于只有从子结构 `k` 开始的部件才有显式时间依赖性求和的起始点也从0变成了 `k`
---
### 公式 1.16a 到 1.16f: 后续推导中所需的乘积项
这些公式定义了在计算惯性力时会遇到的一些常用矢量和矩阵乘积。文档指出,在恒定转速的简化下,这些乘积项的结果是**不依赖于时间**的标量、矢量或矩阵,只依赖于广义坐标 $\mathbf{q}$。
* **注意**: 文档中公式 **1.16a****1.16d** 是空白的。它们可能代表 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}^T \ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 等项,但在最终的文本中被省略了。
* **公式 1.16b, 1.16c, 1.16e, 1.16f**: 这些是基座平动/转动矢量与其时间导数之间的各种内积和矩阵乘积。例如,$\mathbf{R}_{0,b}^T \dot{\mathbf{R}}_{0,b}$ (1.16c) 表示在子结构 `b` 局部坐标系下描述的基座角速度。
---
### 公式 1.17: 证明时间无关性
$$
\mathbf{R}_{0,k}^{T}\mathbf{R}_{0,b} = \dots = \mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}\left(\prod_{l=k+1}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} \tag{1.17}
$$
这个公式通过展开矩阵乘积 $\mathbf{R}_{0,k}^{T}\mathbf{R}_{0,b}$证明了为什么公式1.16中的项是时间无关的。关键在于,$\mathbf{R}_{0,k}$ 中与时间相关的轴承矩阵 $\mathbf{B}_k(t)$ 与其转置 $\mathbf{B}_k^T(t)$ 在乘积中被消除了(因为 $\mathbf{B}_k^T \mathbf{B}_k = \mathbf{I}$),使得最终结果不再显式地依赖于时间 `t`
---
### 公式 1.18a 到 1.18d: 自由度DOF导数
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i} = \dots \tag{1.18a}
$$
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i} = \dots \tag{1.18b}
$$
$$
\mathbf{r}_{0,b,q_i,q_j} = \dots \tag{1.18c}
$$
$$
\mathbf{R}_{0,b,q_i,q_j} = \dots \tag{1.18d}
$$
这些公式代表基座位置矢量 $\mathbf{r}_{0,b}$ 和旋转矩阵 $\mathbf{R}_{0,b}$ 对广义坐标(自由度)$q_i$ 和 $q_j$ 的**一阶和二阶偏导数**。
* **物理意义**: 它们描述了当系统中某一个自由度发生微小变化时,下游的子结构基座位置和姿态会如何变化。
* **用途**: 这些导数是计算拉格朗日方程中各个矩阵的核心要素,例如:
* 质量矩阵 $m_{ij}$ (需要一阶导数)
* 非线性科里奥利/陀螺项 $h_{ijk}$ (需要一阶和二阶导数)
* 离心刚度矩阵 $k_{c,ij}$ (需要一阶和二阶导数)
文档中将这些公式留白了因为它们的具体形式依赖于前面复杂的递归定义但概念上它们是通过对公式1.13应用链式法则求导得到的。
[Timestamp: 2025/08/05 18:34:00]
**user**: [[CASEstab_theory_manual]]详细展示1.14的推导过程
[Timestamp: 2025/08/06 08:07:48]
**ai**: 好的,我们来详细推导[[CASEstab_theory_manual]]中的公式组1.14。
这些公式是子结构基座运动(平动和转动)对时间的一阶和二阶导数,即速度和加速度。推导的核心是**对公式1.13进行求导**,并始终记住一个关键前提:**只有轴承矩阵 $\mathbf{B}_k$ 是时间的显式函数**。所有其他矩阵(如 $\mathbf{S}_k$, $\mathbf{r}_k$, $\mathbf{R}_k$)仅依赖于广义坐标 $\mathbf{q}$,它们对时间的导数是通过链式法则 $\frac{d}{dt}(\cdot) = \sum_i \frac{\partial(\cdot)}{\partial q_i} \dot{q}_i$ 得到的,不包含显式时间导数。
---
### 准备工作:回顾基础公式
1. **基座平动位置 (1.13a):**
$$
\mathbf{r}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_k
$$
2. **基座旋转矩阵 (1.13b):**
$$
\mathbf{R}_{0,b} = \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}
$$
其中,单个子结构的旋转算子 $\mathbf{O}_{l}$ 定义为:
$$
\mathbf{O}_{l}=\mathbf{S}_{l}\mathbf{B}_{l}\mathbf{R}_{l}\mathbf{S}_{l}^{T}
$$
---
### 1. 基座平动速度 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 的推导
我们对 $\mathbf{r}_{0,b}$ 的表达式求时间导数。
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \frac{d}{dt} \left( \sum_{k=0}^{b-1} \mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_k \right)
$$
将求导算子放入求和号内,并对乘积 $\mathbf{R}_{0,k} \mathbf{r}_k$ 应用乘法法则:
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \frac{d}{dt}(\mathbf{R}_{0,k}) \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_k) \right) = \sum_{k=0}^{b-1} (\dot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{r}_k + \mathbf{R}_{0,k} \dot{\mathbf{r}}_k)
$$
根据手册描述,$\mathbf{r}_k$ 是子结构 `k` 坐标系中的局部位置矢量,它不显式依赖于时间,因此 $\dot{\mathbf{r}}_k = \mathbf{0}$。所以上式简化为:
$$
\dot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{r}_k
$$
**注意:** 手册中的公式 **1.14a** 实际上是 $\mathbf{r}_{0,b}$ 的重复定义这是一个笔误。上面推导出的表达式才是基座的平动速度它将在推导1.14c时用到。
---
### 2. 基座旋转速度矩阵 $\dot{\mathbf{R}}_{0,b}$ 的推导 (公式 1.14b)
我们对 $\mathbf{R}_{0,b}$ 的表达式求时间导数。这是一个复杂的矩阵连乘积求导。
$$
\mathbf{R}_{0,b} = \mathbf{O}_0 \mathbf{O}_1 \cdots \mathbf{O}_{b-1} \mathbf{S}_b \mathbf{B}_b
$$
应用乘法法则,导数会作用在每一个含时项上。含时项是所有的 $\mathbf{O}_l$ (因为它内部含有 $\mathbf{B}_l$) 和最后的 $\mathbf{B}_b$。
首先,求 $\dot{\mathbf{O}}_l$
$$
\dot{\mathbf{O}}_l = \frac{d}{dt}(\mathbf{S}_{l}\mathbf{B}_{l}\mathbf{R}_{l}\mathbf{S}_{l}^{T}) = \mathbf{S}_{l}\dot{\mathbf{B}}_{l}\mathbf{R}_{l}\mathbf{S}_{l}^{T} \quad (\text{因为只有 } \mathbf{B}_l \text{ 显式依赖时间})
$$
现在对整个 $\mathbf{R}_{0,b}$ 求导:
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \frac{d}{dt} \left[ \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} \right]
$$
应用乘法法则,我们得到两部分:
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \left[ \frac{d}{dt} \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \right] \mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} + \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b}
$$
对连乘项求导,得到一个求和:
$$
\frac{d}{dt} \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right) \dot{\mathbf{O}}_k \left(\prod_{l=k+1}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \right)
$$
将 $\dot{\mathbf{O}}_k$ 的表达式代入,并将整个结果代回 $\dot{\mathbf{R}}_{0,b}$ 的表达式中:
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \left[ \left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right) (\mathbf{S}_{k}\dot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}) \left(\prod_{l=k+1}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \right] \mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b} + \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b}
$$
这与手册中的公式 **1.14b** 完全一致。
---
### 3. 基座平动加速度 $\ddot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 的推导 (公式 1.14c)
我们对基座平动速度 $\dot{\mathbf{r}}_{0,b}$ 的表达式再次求时间导数:
$$
\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \frac{d}{dt} \left( \sum_{k=0}^{b-1} \dot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{r}_k \right)
$$
同样,应用求和与乘法法则:
$$
\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \frac{d}{dt}(\dot{\mathbf{R}}_{0,k}) \mathbf{r}_k + \dot{\mathbf{R}}_{0,k} \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_k) \right) = \sum_{k=0}^{b-1} (\ddot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{r}_k + \dot{\mathbf{R}}_{0,k} \dot{\mathbf{r}}_k)
$$
因为 $\dot{\mathbf{r}}_k = \mathbf{0}$,我们得到:
$$
\ddot{\mathbf{r}}_{0,b} = \sum_{k=0}^{b-1} \ddot{\mathbf{R}}_{0,k} \mathbf{r}_k
$$
这与手册中的公式 **1.14c** 完全一致。
---
### 4. 基座旋转加速度矩阵 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,b}$ 的推导 (公式 1.14d)
这是最复杂的一步需要对公式1.14b 的两大部分分别求导。为方便起见,我们设:
$$
\dot{\mathbf{R}}_{0,b} = \text{Part A} + \text{Part B}
$$
其中:
$$
\text{Part A} = \sum_{k=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l \right) (\mathbf{S}_{k}\dot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}) \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}
$$
$$
\text{Part B} = \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b}
$$
那么 $\ddot{\mathbf{R}}_{0,b} = \frac{d}{dt}(\text{Part A}) + \frac{d}{dt}(\text{Part B})$。
**对 Part A 求导:**
对求和号内的每一项应用乘法法则。每一项可以看作四个部分的乘积,其中三个部分(两个连乘积和 $\mathbf{S}_b\mathbf{B}_b$)含有时间变量。求导后会产生三项,分别对应导数作用在这三个部分上:
1. 导数作用于第一个连乘积 $\left(\prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l\right)$得到手册中1.14d的**第一项**。
2. 导数作用于第二个连乘积 $\left(\prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l\right)$得到手册中1.14d的**第二项**。
3. 导数作用于中间的 $(\mathbf{S}_{k}\dot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T})$,得到 $\mathbf{S}_{k}\ddot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}$这构成了手册中1.14d的**第三项**。
4. 导数作用于最后的 $\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}$,得到 $\mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b}$。这一项是:
$$
\sum_{k=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l \right) (\mathbf{S}_{k}\dot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}) \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b}
$$
**对 Part B 求导:**
$$
\frac{d}{dt}(\text{Part B}) = \frac{d}{dt} \left[ \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b} \right]
$$
应用乘法法则:
$$
\frac{d}{dt}(\text{Part B}) = \left[ \frac{d}{dt}\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \right] \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b} + \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\ddot{\mathbf{B}}_{b}
$$
将连乘积的导数代入:
$$
\frac{d}{dt}(\text{Part B}) = \left[ \sum_{k=0}^{b-1} \left( \prod_{l=0}^{k-1} \mathbf{O}_l \right) (\mathbf{S}_{k}\dot{\mathbf{B}}_{k}\mathbf{R}_{k}\mathbf{S}_{k}^{T}) \left( \prod_{l=k+1}^{b-1} \mathbf{O}_l \right) \right] \mathbf{S}_{b}\dot{\mathbf{B}}_{b} + \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right) \mathbf{S}_{b}\ddot{\mathbf{B}}_{b}
$$
观察可以发现:
* $\frac{d}{dt}(\text{Part B})$ 的第一部分与上面 $\frac{d}{dt}(\text{Part A})$ 的第4部分完全相同。这两项相加就得到了手册中1.14d的**第四项**带有系数2
* $\frac{d}{dt}(\text{Part B})$ 的第二部分是手册中1.14d的**第五项(最后一项)**。
将所有部分组合起来就完整地得到了公式1.14d的表达式。这个推导过程虽然繁琐,但完全是基于微积分的乘法法则和链式法则的系统应用。
[Timestamp: 2025/08/06 08:09:06]