vault backup: 2025-08-05 17:08:53
This commit is contained in:
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18f7a3121e
commit
0db906d749
@ -0,0 +1,141 @@
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epoch: 1754384267226
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modelKey: gemini-2.5-pro|google
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- copilot-conversation
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**user**: 其中 $t$ 是时间,$x,y$ 和 $z$ 是运动子结构坐标系中质点的坐标,$\mathbf{q}$ 是自由度矢量。注意,$\mathbf{q}_{b}$ 是一个矢量,包含 $\mathbf{q}$ 中子结构 $b$ 的自由度子集。矩阵 $\pmb{\mathrm{s}}_{b}$ 是在地面固定惯性系中描述的子结构 $b$ 坐标系的常数旋转矩阵,$\mathbf{B}_{b}$ 是子结构 $b$ 的基座1中可能存在的轴承的旋转矩阵,$\mathbf{R}_{b}$ 是子结构 $b$ 上连接点处的旋转矩阵,下一个子结构 $b+1$ 连接到该连接点。矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ 描述了这些连接点在子结构 $b$ 坐标系中的位置,矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{1,b}$ 是内部变形矢量函数,描述了整个子结构 $b$ 中所有质点在其局部参考系中的位置。这种内部变形由自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 给出。矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ 以及矩阵 $\mathbf{B}_{b}$ 和 $\mathbf{R}_{b}$ 都是自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 的函数。对于预设轴承,例如恒定转速,矩阵 $\mathbf{B}_{b}$ 也可以是时间 $t$ 的显式函数。如果没有预设轴承,则任何子结构的位置矢量中都没有时间的显式函数,因此陀螺矩阵和离心力矢量消失。对于具有描述传动系统旋转的自由度的自由轴承,陀螺和离心惯性力包含在由 (1.8c) 中的系数给出的 (1.7) 的非线性科里奥利项中。
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The position vector (1.10) can be rewritten in condensed form as
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位置矢量 (1.10) 可以改写为紧凑形式
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\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\sum_{k=0}^{b-1}\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}+\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)\tag{1.11}
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$$
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where $\begin{array}{r}{\pmb{O}_{l}=\pmb{\mathsf{S}}_{l}\pmb{\mathsf{B}}_{l}\pmb{\mathsf{R}}_{l}\pmb{\mathsf{S}}_{l}^{T}}\end{array}$ is the rotation matrix of substructure $l$ described in the ground-fixed frame, including both the deformations of the substructure and the rotations of the bearing at its base. For the following derivations, the position vector (1.11) is written in the further condensed form as
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如何理解公式1.11
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[Timestamp: 2025/08/05 16:57:47]
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**ai**: 好的,我们来详细解析一下公式 (1.11)。
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这个公式的**核心目标**是计算一个由多个子结构(可以想象成机械臂的多个臂节)串联而成的系统中,**第 $b$ 个子结构上任意一个质点**在**全局固定坐标系**(地面坐标系)中的**绝对位置**。
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为了理解这个公式,我们可以把它拆解成两个主要部分,并用一个形象的比喻来辅助理解:**想象一个多节的机械臂**。我们要找机械臂第 `b` 节上某一点的位置。
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\underbrace{\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)}_{\text{最终位置}} = \underbrace{\sum_{k=0}^{b-1}\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}}_{\text{第一部分:前面所有臂节的累加}} + \underbrace{\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)}_{\text{第二部分:当前臂节自身的延伸}}
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### 第一部分:定位子结构 $b$ 的“起点”
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\sum_{k=0}^{b-1}\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}
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$$
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这部分是一个求和项,它计算的是**所有在子结构 $b$ 之前的子结构 (从 0 到 $b-1$) 的位置矢量之和**,从而最终确定子结构 $b$ 的基座(或连接点)在全局坐标系中的位置。
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* **求和 $\sum_{k=0}^{b-1}$**: 意味着我们要把从第 0 个子结构到第 $b-1$ 个子结构的所有“长度”矢量依次加起来。
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* **$\mathbf{r}_{k}$**: 这是第 $k$ 个子结构自身的连接矢量(从它的基座指向下一个子结构的连接点),这个矢量是在它**自己的局部坐标系**中定义的。
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* **$\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}$**: 这两个矩阵将局部矢量 $\mathbf{r}_{k}$ 进行了旋转。$\mathbf{S}_{k}$ 是一个固定的安装旋转,$\mathbf{B}_{k}$ 是基座上轴承的旋转。经过它们俩的变换,矢量 $\mathbf{r}_{k}$ 就对齐到了一个中间状态的坐标系。
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* **$\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}$**: 这是最关键的**累积旋转**部分。$\mathbf{O}_{l}$ 代表第 $l$ 个子结构的总旋转矩阵。这个连乘积 $\mathbf{O}_{0}\mathbf{O}_{1}...\mathbf{O}_{k-1}$ 代表了**从全局坐标系到第 $k$ 个子结构之前的所有旋转变换的总和**。它负责将前面计算出的矢量 $\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}$ 正确地旋转到全局坐标系下。
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**机械臂比喻**:为了找到第 3 节臂的起点位置,你需要:
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1. 知道第 1 节臂的矢量(长度和方向),并把它旋转到全局坐标系下。
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2. 知道第 2 节臂的矢量,先根据第 1 节臂的姿态进行旋转,再根据自身的关节转动进行旋转,最后得到它在全局坐标系下的矢量。
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3. 把这两个在全局坐标系下的矢量相加,就得到了第 3 节臂的起点位置。
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这个求和项做的就是这个累加过程。
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### 第二部分:定位子结构 $b$ 内部的点
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\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)
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这部分计算的是**目标点相对于子结构 $b$ 基座的位置**,并将其转换到全局坐标系。
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* **$\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)$**: 这是我们真正关心的那个质点 $(x,y,z)$ 在**子结构 $b$ 自己的局部坐标系**中的位置矢量。它是一个内部变形矢量,意味着子结构 $b$ 本身可能是柔性的,其内部点的相对位置会随着自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 变化。
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* **$\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}$**: 和第一部分类似,这两个矩阵对局部位置矢量 $\mathbf{r}_{1,b}$ 进行子结构 $b$ 自身的安装旋转和轴承旋转。
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* **$\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}$**: 同样是累积旋转矩阵。它将刚刚在子结构 $b$ 局部坐标系中描述的点,通过前面所有 $b-1$ 个子结构的累积旋转,最终转换到全局坐标系中。
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**机械臂比喻**:我们已经找到了第 3 节臂的起点。现在要找这节手臂中间某个点的位置。
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1. 先确定这个点在第 3 节臂自己的坐标系下的位置矢量($\mathbf{r}_{1,b}$)。
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2. 将这个矢量进行一系列旋转,包括第 1 节臂的旋转、第 2 节臂的旋转、以及第 3 节臂自身的旋转,最终得到这个矢量在全局坐标系下的表示。
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### 总结
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公式 (1.11) 通过一种“**链式法则**”来计算最终位置:
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**最终位置 = (前 $b-1$ 个子结构在全局坐标系下的位置矢量之和) + (第 $b$ 个子结构内部点相对于其起点的矢量,并转换到全局坐标系)**
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这个公式非常精炼地描述了一个串联多体系统的运动学,其中每个子结构的位置和姿态都依赖于它前面的所有子结构。连乘符号 $\prod$ 体现了姿态变换的累积效应,而求和符号 $\sum$ 则体现了位置矢量的累积效应。
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[Timestamp: 2025/08/05 16:58:30]
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**user**: {\bf{r}}_{b}\left(t,{\bf{q}};x,y,z\right)=\!{\bf{S}}_{0}{\bf{B}}_{0}\left({\bf{r}}_{0}+{\bf{R}}_{0}{\bf{S}}_{0}^{T}{\bf{S}}_{1}{\bf{B}}_{1}\left({\bf{r}}_{1}+{\bf{R}}_{1}{\bf{S}}_{1}^{T}{\bf{S}}_{2}{\bf{B}}_{2}\left({\bf{r}}_{2}+{\bf{R}}_{2}{\bf{S}}_{2}^{T}{\bf{S}}_{3}{\bf{B}}_{3}\left({\bf{r}}_{3}+\cdot\cdot+{\bf{R}}_{b-1}{\bf{S}}_{b-1}^{T}{\bf{S}}_{b}{\bf{B}}_{b}\left({\bf{r}}_{1,b}\left({\bf{q}}_{b};x,y,z\right)\right)\right)\right)\right)\right)\tag{1.10}
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基于此,公式1.10是否正确
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[Timestamp: 2025/08/05 17:06:50]
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**ai**: 是的,公式 (1.10) 在**概念上是正确的**,它表示的是与公式 (1.11) **完全相同的物理过程**,但用了不同的数学表达形式。
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我们可以将这两个公式理解为看待同一个问题的两种视角:
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* **公式 (1.10) 是一个“递归”或“嵌套”的表达形式**。它从最外层的子结构 (0) 开始,一步步向内深入,每一层都包含了下一层的位置和姿态信息。
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* **公式 (1.11) 是一个“求和”或“展开”的表达形式**。它将 (1.10) 的嵌套结构展开,变成了一个清晰的求和项加上一个最终项。
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### 两者如何等价?
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我们可以通过展开公式 (1.10) 的括号来证明它与 (1.11) 等价。让我们一步步来:
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1. **原始嵌套公式 (1.10)**:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\left(\mathbf{r}_{0} + \mathbf{R}_{0}\mathbf{S}_{0}^{T}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\left(\mathbf{r}_{1} + \dots \right)\right)
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$$
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2. **展开第一层括号**:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{r}_{0} + \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{R}_{0}\mathbf{S}_{0}^{T}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\left(\mathbf{r}_{1} + \dots \right)
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$$
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3. **识别旋转矩阵 $\mathbf{O}_{l}$**:
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我们回顾一下公式 (1.11) 中的定义:$\mathbf{O}_{l} = \mathbf{S}_{l}\mathbf{B}_{l}\mathbf{R}_{l}\mathbf{S}_{l}^{T}$。
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可以看到,上式中 $\mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{R}_{0}\mathbf{S}_{0}^{T}$ 正好就是 $\mathbf{O}_{0}$。所以公式可以写成:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{r}_{0} + \mathbf{O}_{0}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\left(\mathbf{r}_{1} + \dots \right)
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$$
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4. **继续展开第二层括号**:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{r}_{0} + \mathbf{O}_{0}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\mathbf{r}_{1} + \mathbf{O}_{0}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\mathbf{R}_{1}\mathbf{S}_{1}^{T}\mathbf{S}_{2}\mathbf{B}_{2}\left(\mathbf{r}_{2} + \dots \right)
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$$
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同样,我们识别出 $\mathbf{O}_{1} = \mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\mathbf{R}_{1}\mathbf{S}_{1}^{T}$,代入得到:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \mathbf{S}_{0}\mathbf{B}_{0}\mathbf{r}_{0} + \mathbf{O}_{0}\mathbf{S}_{1}\mathbf{B}_{1}\mathbf{r}_{1} + \mathbf{O}_{0}\mathbf{O}_{1}\mathbf{S}_{2}\mathbf{B}_{2}\left(\mathbf{r}_{2} + \dots \right)
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$$
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5. **发现规律**:
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如果我们一直这样展开下去,直到最后一项 $\mathbf{r}_{1,b}$,我们会得到一个总和:
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* 与 $\mathbf{r}_{0}$ 相乘的系数是:$\mathbf{I}$ (单位矩阵)
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* 与 $\mathbf{r}_{1}$ 相乘的系数是:$\mathbf{O}_{0}$
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* 与 $\mathbf{r}_{2}$ 相乘的系数是:$\mathbf{O}_{0}\mathbf{O}_{1}$
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* ...
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* 与 $\mathbf{r}_{k}$ 相乘的系数是:$\mathbf{O}_{0}\mathbf{O}_{1} \dots \mathbf{O}_{k-1} = \prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}$
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* 与最终内部变形矢量 $\mathbf{r}_{1,b}$ 相乘的系数是:$\mathbf{O}_{0}\mathbf{O}_{1} \dots \mathbf{O}_{b-1} = \prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}$
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将这些项组合起来,就得到了:
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$$
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\mathbf{r}_{b} = \sum_{k=0}^{b-1}\left(\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}\right) + \left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}
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$$
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这与公式 (1.11) 完全一致。
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### 结论
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**是的,公式 (1.10) 是正确的**。它通过一种嵌套的、递归的方式,从物理上直观地构建了整个多体系统的位置矢量关系。而公式 (1.11) 则是将这种递归关系展开后得到的更便于数学分析和计算的紧凑求和形式。两者本质上是等价的。
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[Timestamp: 2025/08/05 17:07:44]
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@ -127,7 +127,7 @@ $$
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where the summation coefficients and the acceleration force $F_{c,i}$ can be derived solely from the partial time and displacement derivatives of the position vector as
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其中,求和系数和加速度力 $F_{c,i}$ 仅可从位置向量对时间分量和位移分量的偏导数中导出
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$$
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\begin{array}{l}{\displaystyle m_{i j}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{j}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle g_{i j}=\int_{\mathcal{V}}2\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial t\partial q_{j}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle h_{i j k}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle F_{c,i}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial t^{2}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\end{array}
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\begin{array}{l}{\displaystyle m_{i j}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_{j}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle g_{i j}=\int_{\mathcal{V}}2\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial t\partial q_{j}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle h_{i j k}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\\ {\displaystyle F_{c,i}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial\mathbf{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{2}\mathbf{r}}{\partial t^{2}}\right)d\boldsymbol{\nu}}\end{array}\tag{1.8}
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$$
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These coefficients and the generalized force are only functions of time $t$ and the displacements ${\bf q}(t)$ . The first term of (1.7) describes the fundamental inertia force due to accelerations $\ddot{\mathbf{q}}$ with a symmetric mass matrix $m_{i j}=m_{j i}$ . The second term describes the gyroscopic forces from substructures where the position vector has a explicit dependency of time $\partial\mathbf{r}/\partial t\neq0$ , for example if the kinematic formulation is based on a drivetrain that rotates at a given average speed and the drivetrain dynamics is described by variations around this speed. The third term describes the centrifugal forces on substructures rotating with a prescribed speed, or the forces due to other explicitly defined accelerations such as earthquakes or the moving base when this structural model is modular coupled to another dynamic model of a foundation or floater. The fourth term can describe the similar Coriolis and acceleration forces as the second and third terms. For example let the generalized coordinate $q_{k}$ be the absolute rotation angle of the drivetrain then this kinematic formulation can be changed to one with a prescribed averaged rotational speed by the substitution $q_{k}\,=\,\Omega t+\delta q_{k}$ , where $\Omega$ is the prescribed average speed and $\delta q_{k}$ is the new generalized coordinate. The part term $h_{i j k}\dot{q}_{k}=h_{i j k}\Omega$ will have a component equal to the coefficient $g_{i j}$ in case of a prescribed constant speed bearing for $j\neq k$ , and the entire term $h_{i j k}\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}=h_{i j k}\Omega^{2}$ for $j=k$ will have a component equal to the acceleration force $F_{c,i}$ .
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@ -138,7 +138,7 @@ In case of a prescribed rotation of the rotor, the acceleration forces $F_{c,i}$
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在风轮给定旋转的情况下,由 (1.8d) 给出的加速度力 $F_{c,i}$ 是使叶片刚化的离心力。为了在频率计算或时间积分的迭代步骤中包含这种离心刚度,我们可以将离心刚度矩阵计算为该矢量函数的雅可比矩阵,如下所示:
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$$
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k_{c,i j}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial^{2}\pmb{r}^{T}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\frac{\partial^{2}\pmb{r}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\pmb{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{3}\pmb{r}}{\partial t^{2}\partial q_{j}}\right)d\mathcal{V}
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k_{c,i j}=\int_{\mathcal{V}}\rho\left(\frac{\partial^{2}\pmb{r}^{T}}{\partial q_{i}\partial q_{j}}\frac{\partial^{2}\pmb{r}}{\partial t^{2}}+\frac{\partial\pmb{r}^{T}}{\partial q_{i}}\frac{\partial^{3}\pmb{r}}{\partial t^{2}\partial q_{j}}\right)d\mathcal{V}\tag{1.9}
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$$
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which is not a symmetric matrix due to the second term.
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@ -151,24 +151,28 @@ The fifth term of (1.7) describes the conservative forces such as gravity and el
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The turbine structure is divided into a number of articulated substructures where one substructure may be connected to one or more substructures through its connection points. Let $b$ be the index of a substructure then we herein assume that it is connected to substructure $b-1$ which is connected to substructure $b-2$ and so on until substructure 0. In practice, this numbering will not be continuous (e.g. the blades will each have their own number but connected to the same hub which can have one number), but we can always create an intermediate index list for each substructure in which the numbering is continuous.
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The position vector $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ of a particle on substructure number $b$ is written as
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机组结构被划分为若干个铰接子结构,其中一个子结构可以通过其连接点连接到一个或多个子结构。设 $b$ 为子结构的索引,我们在此假设它连接到子结构 $b-1$,后者连接到子结构 $b-2$,依此类推直到子结构 0。在实践中,这种编号不会是连续的(例如,叶片将各自拥有自己的编号,但连接到同一个轮毂,轮毂可以有一个编号),但我们总是可以为每个子结构创建一个中间索引列表,其中编号是连续的。
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The position vector $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ of a particle on substructure number $b$ is written as
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子结构$b$上质点的位矢$\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$可写为
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\begin{array}{r l}&{{\bf{r}}_{b}\left(t,{\bf{q}};x,y,z\right)=\!{\bf{S}}_{0}{\bf{B}}_{0}\left({\bf{r}}_{0}+{\bf{R}}_{0}{\bf{S}}_{0}^{T}{\bf{S}}_{1}{\bf{B}}_{1}\left({\bf{r}}_{1}+{\bf{R}}_{1}{\bf{S}}_{1}^{T}{\bf{S}}_{2}{\bf{B}}_{2}\left({\bf{r}}_{2}\right.\right.}\\ &{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\left.+{\bf{R}}_{2}{\bf{S}}_{2}^{T}{\bf{S}}_{3}{\bf{B}}_{3}\left({\bf{r}}_{3}+\cdot\cdot+{\bf{R}}_{b-1}{\bf{S}}_{b-1}^{T}{\bf{S}}_{b}{\bf{B}}_{b}\left.{\bf{r}}_{1,b}\left({\bf{q}}_{b};x,y,z\right)\right.\right.}\end{array}
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||||
{\bf{r}}_{b}\left(t,{\bf{q}};x,y,z\right)=\!{\bf{S}}_{0}{\bf{B}}_{0}\left({\bf{r}}_{0}+{\bf{R}}_{0}{\bf{S}}_{0}^{T}{\bf{S}}_{1}{\bf{B}}_{1}\left({\bf{r}}_{1}+{\bf{R}}_{1}{\bf{S}}_{1}^{T}{\bf{S}}_{2}{\bf{B}}_{2}\left({\bf{r}}_{2}+{\bf{R}}_{2}{\bf{S}}_{2}^{T}{\bf{S}}_{3}{\bf{B}}_{3}\left({\bf{r}}_{3}+\cdot\cdot+{\bf{R}}_{b-1}{\bf{S}}_{b-1}^{T}{\bf{S}}_{b}{\bf{B}}_{b}\left({\bf{r}}_{1,b}\left({\bf{q}}_{b};x,y,z\right)\right)\right)\right)\right)\right)\tag{1.10}
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$$
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where $t$ is time, $x,y$ and $z$ are the coordinates of the particle in the moving substructure frame and $\mathbf{q}$ is the DOF vector. Note that $\mathbf{q}_{b}$ is a vector containing the subset of $\mathbf{q}$ with the DOFs of the substructure $b$ . The matrices $\pmb{\mathrm{s}}_{b}$ are the constant rotation matrix for the coordinate systems of the substructure $b$ described in the ground fixed inertia frame, $\mathbf{B}_{b}$ are the rotation matrix for a possible bearing in the base1 of substructure $b$ , and $\mathbf{R}_{b}$ are the rotation matrix at the connection point on substructure $b$ to which the next substructure $b+1$ is connected. The vectors $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ describe the positions of these connection points in the coordinates of substructure $b$ , and the vector $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{1,b}$ is internal deformation vector function describing the position of all particles in the entire substructure $b$ in its local frame of reference. This internal deformation is given by the DOFs $\mathbf{q}_{b}$ . The vector $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ and the matrices $\mathbf{B}_{b}$ and $\mathbf{R}_{b}$ are functions of the DOFs $\mathbf{q}_{b}$ . For prescribed bearings, e.g. constant rotation speed, the matrix $\mathbf{B}_{b}$ may also an explicit function of time $t$ . Without prescribed bearings, there are no explicit functions of time in the position vectors for any substructure, whereby the gyroscopic matrix and centrifugal force vector vanish. For a free bearing with a DOF describing the rotation of the drivetrain, the gyroscopic and centrifugal inertia forces are included in the nonlinear Coriolis term of (1.7) given by the coefficients in (1.8c).
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其中 $t$ 是时间,$x,y$ 和 $z$ 是运动子结构坐标系中质点的坐标,$\mathbf{q}$ 是自由度矢量。注意,$\mathbf{q}_{b}$ 是一个矢量,包含 $\mathbf{q}$ 中子结构 $b$ 的自由度子集。矩阵 $\pmb{\mathrm{s}}_{b}$ 是在地面固定惯性系中描述的子结构 $b$ 坐标系的常数旋转矩阵,$\mathbf{B}_{b}$ 是子结构 $b$ 的基座1中可能存在的轴承的旋转矩阵,$\mathbf{R}_{b}$ 是子结构 $b$ 上连接点处的旋转矩阵,下一个子结构 $b+1$ 连接到该连接点。矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ 描述了这些连接点在子结构 $b$ 坐标系中的位置,矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{1,b}$ 是内部变形矢量函数,描述了整个子结构 $b$ 中所有质点在其局部参考系中的位置。这种内部变形由自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 给出。矢量 $\boldsymbol{\mathsf{r}}_{b}$ 以及矩阵 $\mathbf{B}_{b}$ 和 $\mathbf{R}_{b}$ 都是自由度 $\mathbf{q}_{b}$ 的函数。对于预设轴承,例如恒定转速,矩阵 $\mathbf{B}_{b}$ 也可以是时间 $t$ 的显式函数。如果没有预设轴承,则任何子结构的位置矢量中都没有时间的显式函数,因此陀螺矩阵和离心力矢量消失。对于具有描述传动系统旋转的自由度的自由轴承,陀螺和离心惯性力包含在由 (1.8c) 中的系数给出的 (1.7) 的非线性科里奥利项中。
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The position vector (1.10) can be rewritten in condensed form as
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位置矢量 (1.10) 可以改写为紧凑形式
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\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\sum_{k=0}^{b-1}\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}+\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)
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\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\sum_{k=0}^{b-1}\left(\prod_{l=0}^{k-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{k}\mathbf{B}_{k}\mathbf{r}_{k}+\left(\prod_{l=0}^{b-1}\mathbf{O}_{l}\right)\mathbf{S}_{b}\mathbf{B}_{b}\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)\tag{1.11}
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$$
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where $\begin{array}{r}{\pmb{0}_{l}=\pmb{\mathsf{S}}_{l}\pmb{\mathsf{B}}_{l}\pmb{\mathsf{R}}_{l}\pmb{\mathsf{S}}_{l}^{T}}\end{array}$ is the rotation matrix of substructure $l$ described in the groundfixed frame, including both the deformations of the substructure and the rotations of the bearing at its base. For the following derivations, the position vector (1.11) is written in the further condensed form as
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where $\begin{array}{r}{\pmb{O}_{l}=\pmb{\mathsf{S}}_{l}\pmb{\mathsf{B}}_{l}\pmb{\mathsf{R}}_{l}\pmb{\mathsf{S}}_{l}^{T}}\end{array}$ is the rotation matrix of substructure $l$ described in the ground-fixed frame, including both the deformations of the substructure and the rotations of the bearing at its base. For the following derivations, the position vector (1.11) is written in the further condensed form as
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其中 $\begin{array}{r}{\pmb{O}_{l}=\pmb{\mathsf{S}}_{l}\pmb{\mathsf{B}}_{l}\pmb{\mathsf{R}}_{l}\pmb{\mathsf{S}}_{l}^{T}}\end{array}$ 是在地面固定坐标系中描述的子结构 $l$ 的旋转矩阵,包括子结构的变形及其基座处轴承的旋转。对于以下推导,位置向量 (1.11) 被进一步简化为
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$$
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\begin{array}{r}{\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\mathbf{r}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)+\mathbf{R}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)}\end{array}
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\begin{array}{r}{\mathbf{r}_{b}\left(t,\mathbf{q};x,y,z\right)=\mathbf{r}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)+\mathbf{R}_{0,b}\left(t,\mathbf{q}\right)\mathbf{r}_{1,b}\left(\mathbf{q}_{b};x,y,z\right)}\end{array}\tag{1.12}
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$$
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where the translations and rotations of the substructure base are described by
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@ -6,7 +6,7 @@
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{"id":"82708a439812fdc7","type":"text","text":"# 7月已完成\n\nP1 工况点稳态变形量求解,F=kx\n- 文献调研,初步确定思路 done\n- 推导方程 done\n- 编写组建增广矩阵,求解广义坐标代码 done\n- 测试广义坐标到叶片变形量功能 可以变形,气动Cp会改变\n- 连接气动测试,完成。存在一个问题,气动是否要用稳态模型\n- 直接迭代到变形量收敛 思路确定了 完成\n- x.qt x.qdt数据如何从dxdt.qdt拿来/更新,预估校正方法 steady中预估矫正方法去掉了\n\nP1 职称评审系统填写,材料梳理上传 盖章\n\nP1 数值扰动+回归的线性化方法原理探究\n\nP1 dtu casestab开源项目,稳态运行状态叶片模态、频率计算方法研究。\n- 形成项目研究报告\n\nP1 控制信号到多体调研\n- 调研完成\n- 控制项目集成\n\nP1 产出的报告 线性化理论手册编写 完成","x":-220,"y":134,"width":440,"height":560},
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{"id":"505acb3e6b119076","type":"text","text":"# 6月已完成\n\n\nP1 结果对比\n- Herowind 带3.5气动与fast3.5对比 相同\n- Herowind 带4.0气动与fast4.0对比 相同\n- Herowind 带hrl气动与fast对比 需气动支持15MW\n- 叶根坐标系转换 \n\t- 叶尖变形量 - 变形向量 dot product 叶根坐标系方向\n\t- 叶片载荷输入量呢 载荷传递在blade mesh.force moment,mesh.orientation = coord_sys.n\n\nP1 Bladed交流问题汇总\n\nP1 模型线性化原理 done\n- Bladed 线性化理论手册 仔细阅读\n- multibody blade transform\n- fast线性化理论\n- 梳理Bladed线性化方法框架\n\n\nP1 编写线性化理论手册 done\nP1 上手Bladed \\ fast 线性化功能,研究OpenFAST线性化实现原理 done","x":-700,"y":134,"width":440,"height":560},
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{"id":"30cb7486dc4e224c","type":"text","text":"# 8月已完成\n\n","x":260,"y":134,"width":440,"height":560},
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{"id":"c18d25521d773705","type":"text","text":"# 计划\n这周要做的3~5件重要的事情,这些事情能有效推进实现OKR。\n\nP1 必须做。P2 应该做\n\n\nP1 柔性部件 叶片、塔架主动力惯性力算法 主线\n- 变形体动力学 简略看看ing\n- 柔性梁弯曲变形振动学习,主线 \n\t- 广义质量 刚度矩阵及含义\n\t\n- 梳理bladed动力学框架 this week\n\t- 子结构文献阅读\n\t- 叶片模型建模 done\n\n\nP1 线性化方法编写\n\n\n\nP2 如何优雅的存储、输出结果。\nP2 yaw 自由度再bug确认 已知原理了\n","x":-597,"y":-693,"width":453,"height":347}
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{"id":"c18d25521d773705","type":"text","text":"# 计划\n这周要做的3~5件重要的事情,这些事情能有效推进实现OKR。\n\nP1 必须做。P2 应该做\n\n\nP1 柔性部件 叶片、塔架主动力惯性力算法 主线\n- 变形体动力学 简略看看ing\n- 柔性梁弯曲变形振动学习,主线 \n\t- 广义质量 刚度矩阵及含义\n\t\n- 梳理bladed动力学框架 this week\n\t- 子结构文献阅读\n\t- 叶片模型建模 done\n\n\nP1 线性化方法编写\n\nP1 控制调通\n- 上传git\n- 编写传递逻辑\n\nP1 bladed对比\n- 稳态变形量对比 -- steady power production loading\n\n\nP2 如何优雅的存储、输出结果。\nP2 yaw 自由度再bug确认 已知原理了\n","x":-597,"y":-693,"width":453,"height":347}
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